完全数（Perfect Number）是一个数学中的概念，指的是一个正整数，其所有真因子（即除了自身以外的因子）的和等于这个数本身。用公式来表示的话，若 n 是一个完全数，那么其所有真因子的和为 n。假设 P(n) 表示 n 的所有真因子之和，则对于一个完全数 n，有 P(n) = n。
这里举一个具体的例子，比如说数字 28：
28 的因子有 1，2，4，7，14，28。
除了 28 本身以外，其因子为 1，2，4，7，14。
这些数字的和为 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28。
由此可见，28 是一个完全数。
在探讨完全数之前，了解 因子 是非常重要的。因子是可以被某个数字整除的数字。以 28 为例，1、2、4、7、14 都是其因子，因为 28 可以被它们整除，同时余数为 0。
也许你注意到了，从古希腊数学家欧几里得（Euclid）到现代数学家，完全数一直是数论（Number Theory）中研究的一个重要主题。古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中提出了生成完全数的方法，称为 欧几里得-欧拉公式，即若 2^(p-1) * (2^p - 1) 是一个完全数，当且仅当 (2^p - 1) 是素数。这个公式至今仍用于寻找完全数。
用上述公式找到的前几个完全数是：
6 = 2^(2-1) * (2^2 - 1) = 2 * 3
28 = 2^(3-1) * (2^3 - 1) = 4 * 7
496 = 2^(5-1) * (2^5 - 1) = 16 * 31
8128 = 2^(7-1) * (2^7 - 1) = 64 * 127
历史上，人们一直试图找到更多的完全数，并探讨其性质。完全数有几个奇特但非常重要的性质和用途。以下从理论和实际应用两个方面进行详细介绍：
数学理论上的用途和性质
完全数在数论中有很多有趣的性质，其研究不仅丰富了数论的理